O que é desigualdade de cauchy schwarz?

A desigualdade de Cauchy-Schwarz, também conhecida como desigualdade de Schwarz, é uma importante desigualdade matemática que relaciona o produto interno de dois vetores em um espaço vetorial com suas normas.

Em sua forma mais comum, a desigualdade de Cauchy-Schwarz afirma que para quaisquer vetores (\mathbf{u}) e (\mathbf{v}) em um espaço vetorial com produto interno, temos que:

[ |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle | \leq || \mathbf{u} || \cdot || \mathbf{v} ||]

Onde (\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle) representa o produto interno entre os vetores (\mathbf{u}) e (\mathbf{v}) e || \mathbf{u} || e || \mathbf{v} || representam as normas dos vetores (\mathbf{u}) e (\mathbf{v}), respectivamente.

A desigualdade de Cauchy-Schwarz é utilizada em diversas áreas da matemática, como álgebra linear, análise funcional, geometria e teoria da probabilidade, sendo uma ferramenta poderosa para estabelecer limites superiores em diversas situações. Ela também é uma das desigualdades mais fundamentais da matemática e muitas outras desigualdades importantes podem ser derivadas dela.